Задание:
Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство 2*3^n≤2^n+4^n Когда выполняетсяравенство?
Решение:
2*3^n≤2^n+4^nпреобразуем 2 ≤ (2^n+4^n) / 3^n=(2/3) ^n+(4/ 3) ^n в правой части оба слагаемые положительные числапервое слагаемое (2/3) ^n — дробь — всегда меньше 1 второе слагаемое (4/3) ^n — дробь — всегда больше 1 достаточное условие доказательства, чтобы одно из слагаемых было БОЛЬШЕ 2 рассмотрим n=1,2,3n=1 (2/3) ^1+(4/ 3) ^1=2/3+4/3=6/3=2 <-выполняется равенство 4/3 < 2n=2 (2/3) ^2+(4/ 3) ^2=4/9+16/9=20/9=2+2/9 >2 <-выполняется НЕравенство 16/9 < 2n=3 (2/3) ^3+(4/ 3) ^3=8/27+64/27=72/27=2+18/27 <-выполняется НЕравенство 64/27 > 2 второе слагаемое (4/3) ^n > 2, для всех 3 ≤ n следовательно, для любого натурального n справедливо заданное неравенствоДОКАЗАНО
Знаете другой ответ?