Задание:
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений y — x^2=a и x — y^2=a имеет ровно два решения.
Решение:
{y — x^2=a {x — y^2=a Вычтем из первого уравнения, второе, получимy-x) (y+x+1)=0. Поэтому первоначальная система сводится к совокупности систем: {y=x (1) {y=x^2+a (2) и{y=-x-1 (3) {y=x^2+a (4) Из первой системы следует: x^2-x+a=0D1=1-4aИз второй системы следует: x^2+x+a+1=0D2=1-4 (a+1)=1-4a-4=-4a-3Если D1>0 и D2<0, то первое уравнение имеет 2 решения, а второе ни одного (из определения дискреминанта) Если D2=0; то -4a-3=0-4a=3a=-3/4Подставляем полученые значения в 1 систему: x^2-x-3/4=04x^2-4x-3=0D=16+48=64x1=(4+8) /8=12/8=3/2x2=(4-8) /8=-1/2 Подставим это значение в (1) Получим: y1=3/2y2=-1/2 найдем решения второй системы: x^2+x-3/4+1=0x^2+x+1/4=0D=1-4*1/4=0x=-1/2 то y=-1/2Так как, решения (-1/2; -1/2) — первой системы, и (-1/2; -1/2) — второй системы совпадают, то a=-3/4 — войдет в ответ. (квадратная скобка) Если D2>0, то очевдно, что к решениям первого уравнения добавляются два решения второго уравнения. Значит, система имеет 2 решения при 0<1-4a <= 4-1<-4a <= 31/4>a>-3/4Значит: a e [-3/4; 1/4) Ответ: [-3/4; 1/4)
Знаете другой ответ?