Задание:
ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ! Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 1,5 больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти ее четвертый член, если знаменатель этой прогрессии положителен.
Решение:
Пусть у нас дана геометрическая прогрессия b (n): b1,b2… Воспользуемся формулой для расчета суммы n-первых членов геометрической прогрессии: S (5)=b1 (q⁵-1) / (q-1) S (3)=b1 (q³ — 1) / (q — 1) По условию, S (5) — S (3)=1,5, то есть b1 (q⁵-1) / (q-1) — b1 (q³ — 1) / (q — 1)=(b1 (q⁵-1) — b1 (q³ — 1) / (q-1)=b1 (q⁵-1 — q³+1) / (q-1)=b1 (q⁵ — q³) / (q-1)=1,5 Теперь перейдем к другому условию. Выразим пятый и третий член через первый и знаменатель: b3=b1q²b5=b1q⁴b5=4b3b1q⁴=4b1q²Таким образом, приходим к системе: b1 (q⁵ — q³) / (q-1)=1,5b1q⁴=4b1q²Если нам удасться выкрутить данную систему, то получим первый член и знменатель, а там уже и до четвертого члена недалеко. Второе уравнение можно сократить на b1, получим: q⁴=4q²Теперь сокращаем на q²: q²=4Отсюда q=2 или q=-2. Но знаменатель по условию положителен, поэтому q=2. Теперь решить систему достаточно нетрудно. Подставим вместо q число 2. b1 (2⁵ — 2³) / (2 — 1)=1,5b1 (2⁵ — 2³)=1,5b1=1,5/24=0,0625 Теперь мы знаем знаменатель и первый член. Очень легко теперь ищется четвертый: b4=b1q³b4=0,0625*8=0,5Задача выполнена. Проверить, насколько верно она решена, я не в состоянии, скорее всего так, никак иначе.
Знаете другой ответ?