Пусть неотрицательные числа x, y, z связаны соотношением x+y+z=1

Задание:

Пусть неотрицательные числа x, y, z связаны соотношением x+y+z=1. Докажите, чтоxy+yz+zx≤1/3.

Решение:

x^2+y^2>=2xy (неравенство Коши — между среднем арифмитическим и средним геометрическим или из (x-y) ^2>=, x^2-2xy+y^2>=0, x^2+y^2>=2xy) y^2+z^2>=2xzx^2+z^2>=2xzсложив 2 (x^2+y^2+z^2) >=2*(xy+yx+zx) сократив на 2x^2+y^2+x^2>=xy+yx+zx (*) по формуле квадарата тричлена, и исполльзуя неравенство (*) (x+y+z) ^2=x^2+y^2+z^2+2 (xy+zy+zx) >=xy+xz+xz+2 (xy+zx+xz)=3 (xy+yz+zx) подставляя данное условие 1^2>=3 (xy+yz+zx) или 1>=3 (xy+zx+zy) или xy+yz+zx≤1/3. Что и требовалось доказать

Знаете другой ответ?

Отправить свой ответ