Задание:
Равносторонний треугольник поворачивают относительно центра на 3 градуса потом на 9 градусов, на 27 градусов, и т.д. (на n-м шаге его поворачивают на 3 встепени n градусов). Сколько всего разных положений будет занимать треугольник? (А) 360, (Б) 6, (В) 5, (Г) 4, (Д) 3.
Решение:
Составим следующую таблицу: Степень n Угол поворота α=3^n (mod 360) 1 32 93 274 815 2436 97 278 819 24310 911 2712 8113 24314 9… Легко заметить, что значения α периодичны начиная с n=2. Период длины 4 состоит из повторяющихся значений (9,27,81,243). Периодичность α можно доказать и строго (например, методом математической индукции). Таким образом, мы имеем всего 5 различных значений для угла поворота α: 3,9,27,81,243 Равносторонний треугольник переходит сам в себя при поворотах относительно центра на угол β=Ω+120k, где k=1,2,3,4,… Такие повороты β неотличимы от Ω, и должны считаться одинаковыми. Проверяем и убеждаемся, что 5 различных значений α есть два (а именно, 3 и 243=120*2+3), которые должны считаться одинаковыми. Оставим из этих двух значений одно (а именно, 3). Итак, у нас остается всего 4 различных значений α: 3,9,27,81 Следовательно, наши 4 значения для угла поворота α переводят равносторонний треугольник в различные положения. ОтветГ) 4.
Знаете другой ответ?