Задание:
Решить в целых числах уравнение 1! +2! +3! +4! +… + х! =у^2
Решение:
Я буду рассуждать следующим образом: 1. Корни, которые видно сразу: x=0, y=1 (т.к. 0! =1 по определению факториала) x=0, y=-1x=1, y=1x=1, y=-1Факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x >=0,2. Других корней нет, так как и левая, и правая части возрастаютРассмотрим f (x)=x! И g (x)=y^2g (x) — это парабола, наклоненная на 90 градусов, т.е. ветви направлены вправо.f (x)=x! ~x^x*ln (x) по ф-ле Стирлинга, т.е. возрастает быстрее любой степенной функции, т.е. заведомо быстрее чем y^2. Это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. Следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют. Функция же f1 (x)=1! +2! +… +x! Возрастает еще быстрее, чем x!, следовательно, других корней у этого уравнения нет.
Знаете другой ответ?