Задание:
Сколько решений имеет система уравнений x^2+y^2+xy=a x^2-y^2=кор. Куб. Из (a)
Решение:
Долго думал) Итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу. Следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4. Требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид. Воспользуемся стандартным алгоритмом приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=aa11, a12, a22 — известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0,5. Угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg (2*alpha)=2*a12/ (a11-a22) В знаменателе 0 => tg=бесконечность => 2*alpha=90, alpha=45. Крутим СК на 45 градусов. Из аналитической геометрии известно, что выражения старых координат через новые: x=x'*cos (alpha) -y'*sin (alpha) y=x'*sin (alpha)+y'cos (alpha) Подставим в первое уравнение основной системы. Получимx'^2+y'^2=2a/3 это ОКРУЖНОСТЬ! Во втором уравненииy'=(-a^ (1/3) / (2*x') это ГИПЕРБОЛА. Теперь рассматриваем различные случаи значений а. А=0 => одно решение (0; 0) Подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.x'^4 — (2a/3)*x'^2+4*a^ (2/3)=0 исследуем его дискриминант. (1/9)*a^4-a^ (2/3) >=0, откуда a^ (10/3) >=9 => a>=9^ (3/10) ответ: a=0 один корень а=9^ (3/10) два корня a > 9^ (3/10) четыре корня!
Знаете другой ответ?