Задание:
В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гепотенузу на отрезки равные 2 и 1. Найдите радиус этойокружности
Решение:
Треугольник АВС, О-центр вписан. Окруж., М-точка касания с гипотенузой АС, СМ=1, АМ=2, Е-точка касания с катетом ВС и К-точка касания с катетом АВ, СЕ=СМ=1 (отрезки, касательных к окружности, проведенных из одной точки), так же АК=АМ=2, ОЕ=ОК=радиусу окружности. ОЕ перпендикулярно к ВС (отрезок, проведенный от центра окружности к точке касания, перпендикю к данной стороне), также ОК перпендик. К ВА. Угол АВС-90 градусов. ВКОЕ-квадрат, где сторона равна радиусу и обозначим за х, тогда ВА=2+ х, ВС=х +1, Ас=2+1=3-гипотенузаПо теореме Пифагора (х +1) ^2+(х +2) ^2=3^2x^2+2x+1+x^2+4x+4=92x^2+6x-4=0 сократим на 2 х^2+3x-2=0 дискрим Д=9+8=17Х1=(-3+ корень из 17) /2 (корень из 17 приблиз равен 4,12) х 2=(-3-корень из 17) /2 (отрицат. Быть не может) Ответ: радиус равен (-3+ корень из 17) /2
Знаете другой ответ?