Задание:
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника равна 24√2 и делит гипотенузу на отрезки в отношении 3:4. Вычислить периметртреугольника.
Решение:
Начнем. По свойству, биссектриса внутреннего угла делит противолижащию сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам. Вот у нас биссектриса делит гипотенузу в отношении 3:4. Тогда, стороны (назовем их а и b) также относятся: a: b=3:4. Пусть один отрезок гипотенузы будет равен 3 х, тогда второй отрезок — 4 х. Пусть сторона а=3 у, тогда b=4 у. Гипотенуза (назовем ее с)=3 х +4 х=7 х. По теореме Пифогара: a^2+b^2=c^2 < => 9y^2+16y^2=49x^225y^2=49x^25 у=7 хх=5/7*уP (периметр)=a+b+c=4 у +3 у +7 х=7 у +5 у=12 у. Осталось найти у. Назовем треугольник ABC, угол С — прямой. СМ — биссектриса. Биссектриса делит угол пополам, значит, угол АСМ=45 гр. Рассмотрим треугольник АСМ, по теореме косинусов: с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC (Любая сторона треугольника равна сумме квадратов ее двух других сторон без (минус) удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.) с=АМ, АМ=4 х=4*5/7*у=20/7*у (20/7*у) ^2=(4y) ^2+(24√2) ^2-2*4y*24√2*cos45 гр (cos45 гр=√2/2) 400/49*y^2=16y^2+1152-192y384/49*y^2-192y+1152=0Решаем это квадратное уравнение: a=384/49, b=192, c=1152 k=96y1=(-k-√ (k^2-a*c) /a y1=считать не надо, так как он будет отрицательный, а нам нужен положительный кореньy2=(-k+√ (k^2-a*c) /a y2=14P=12*14=168Ответ: 168.
Знаете другой ответ?