Задание:
Через точки A и B, лежащие на диаметре окружности с центром в точке O, проведены касательные. Через точку K, лежащую на окружности, проведена касательная, которая пересекает первые две касательные в точках L и N. Докажите, что треугольник NOL-прямоугольный.
Решение:
Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО=al, а угол АLO=be. Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т.к. они прямоугольные (уг. OBN=уг. ОКN=90 гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB=ОК и равны радиусу окружности. Тогда уг. ВNО=уг. КNО=al. Аналогично для тр-ков ОAL и ОКL: уг.ALO=уг. КLО=be. В тр-ке LON сумма углов уг. КLО + уг. КNO=al+be, уг.LON=180 — (al+be) Рассмотрим углы при точке О: уг. KON=90-al, уг.KOL=90-be, а уг.LON=180 — (уг. NOB+ уг.LOA)=180- (90-al) — (90-be)=al+be. Итак получили: уг.LON=180 — (al+be) и уг.LON=al+be.180 — (al+be)=al+be и 2 (al+be)=180. Откуда al+be=90 гр. И уг.LON=al+be=90 гр., т.е. тр-к LON — прямоугольный.
Знаете другой ответ?