Задание:
Дан треугольник со сторонами 5, 12, 13. Точка О лежит на большей стороне тр-ка и является центром окружности, касающейся двух других сторон, Найдитерадиус окружности. Срочно плизз
Решение:
Достаточно заметить, что 5^2+12^2=13^2, то есть, треугольник является прямоугольным. Тока О лежит на гипотенузе. Вершина при прямом угле, точка О и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведенному к точке касания). Сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. Обозначим длину этой стороны за x. Расстояния от точки О до концов гипотенузы обозначим за y и z. Тогда для двух маленьких треугольников, получившихся при проведении радиусов к точкам касания, можно записать 5-x) ^2+x^2=y^2 — по теореме Пифагора (12-x) ^2+x^2=z^2 — по теоерме Пифагораy+z=13 — так как y и z вместе дают гипотенузу Решим полученную систему уравнений: 1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение 5-x) ^2+x^2=y^2 (12-x) ^2+x^2=(13-y) ^2 2) раскроем скобки и приведем подобные: 25 — 10x+2x^2=y^2-24x+2x^2=25 — 26y+y^2 3) вычтем второе уравнение из первого и приведем подобные: 25+14x=26y — 25 4) Выражаем y: 50+14x=26yy=(50+14x) /26 5) Подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 — 10x+2x^2=y^2:25 — 10x+2x^2=(50+14x) /26) ^225 — 10x+2x^2=(50+14x) ^2/67616900 — 6760x+1352x^2=(50+14x) ^2=2500+1400x+196x^21156x^2 — 8160x+14400=0289x^2 — 2040x+3600=0 (17x) ^2 — 2*17*60x+60^2=0 (17x — 60) ^2=017x — 60=0x=60/17 Ответ: 60/17
Знаете другой ответ?