Задание:
Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, и отрезки, соединяющие середины диагоналей, пересекаютсяв одной точке
Решение:
Четырехугольник ABCD, К — середина АВ, L — середина ВС, M — середина CD, N — середина AD, Р — середина АС, Q — середина BD. Надо доказать, что КМ, LN и PQ пересекаются в одной точке. КN — средняя линяя в треугольнике ABD, поэтому KN II BD, KN=BD/2; точно также доказывается, что LM II BD, KL II AC, MN II AC. Поэтому KLMN — параллелограмм, в котором LN и KM — диагонали, поэтому в точке пересечения они делятся пополам, то есть КМ проходит через середину LN. С другой стороны,LQ — средняя линяя в треугольнике BCD, то есть LQ II CD, а PN — средняя линяя в треугольнике ACD, PN II CD, следовательно, PN II LQ.LP — средняя линяя в треугольнике ABC, то есть LP II AB, а QN — средняя линяя в треугольнике ABD, QN II AB, следовательно, QN II LP. Поэтому PLQN — параллелограмм, и его диагонали PQ и LN в точке пересечения делятся пополам. То есть PQ, так же как и КМ, проходит через середину LN. Все доказано.
Знаете другой ответ?