Задание:
Две окружности имеют общий центр. Докажите, что хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, равны междусобой. Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам.
Решение:
Первое следует из того, что половина длины хорды и РАССТОЯНИЕ ДО хорды связаны теоремой Пифагора с радиусом окружности (ну, возьмите любую хорду, опустите на нее перпендикуляр из центра, и рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого катеты — половина хорды и перпендикуляр к хорде, а гипотенуза — радиус). Поэтому хорды, РАВНОУДАЛЕННЫЕ от центра, имеют равные длины. А касательные к внутренней окружности как раз удалены от центра на равное расстояние — на радиус малой окружности. Чтобы доказать второе утверждение, достаточно доказать, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам (тогда она и вторую делит пополам. Если соединить центры окружностей и провести радиусы в точки касания внутренней касательной, то мы получим 2 прямоугольных треугольника с равными углами и катетами-радиусами, которые равны по условию. Этого достаточно, чтобы утверждать равенство треугольников. Откуда и следует, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам. Значит, она и вторую делит пополам, значит — внутренние касательные пересекаются в своих серединах.
Знаете другой ответ?