Задание:
Навколо кулі описано конус, висота якого вдвічі більша за діаметр кулі. Знайдіть відношення обьємів даних тіл. (Подробно)
Решение:
Проведем осевое сечение через вершину и центр шара. В проекции на эту плоскость получим окружность радиуса R (проекция шара) и равнобедренный треугольник (проекция конуса) с высотой Н=4R, в который вписана эта окружность. Обозначим треугольник АВС. АС — основание В — вершина. Проведем высоту ВД на АС. Центр вписанной окружности располагается на ней на расстоянии ВО=3R от вершины ОД=R. Так по условию. Из точки О проведем перпенддикуляр ОК=R на ВС. Треугольники ВДС и ВОК подобны. Они прямоугольные и угол ДВС у них общий. Отсюда ОК/ОВ=ДС/ВС. Или R/3R=ДС/ВС. То есть ДС=1/3ВС. По теореме Пифагора ВД квадрат=ВС квадрат-ДС квадрат=ВС квадрат- (1/3 ВС) квадрат=8/9 (ВС квадрат). Но по условию ВД=4R. Приравниваем и получаем (4R) квадрат=8/9 (ВС квадрат). Отсюда ВС=6R/ (корень из 2). Тогда радиус конуса R конуса=ДС=1/3*ВС=2R/ (корень из 2). По формуле находим объем конуса V конуса=1/3 пи*(R конуса) квадрат*Н=1/3 пи*(2R/ (корень из 2) квадрат*4R=8 пи*Rкуб/3. Объем шара V шара=4/3 пи*Rкуб (по формуле). Сравним объемы и видим, что объем конуса в два раза больше объема шара.
Знаете другой ответ?