Нужно срочно! Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна…

Задание:

Нужно срочно! Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 8. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этогочетырехугольника не меньше 2

Решение:

Пусть М — любая точка плоскости. Пусть каждое из расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника меньше 2, тогдаАМ + ВМ + СМ +DМ<2+2+2+2=8 (*) — сумма расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника, по неравенству треугольника имеемAM+BM>ABAM+DM>ADBM+CMCDсложив получим что 2 (AM+BM+CM+DM) >AB+BC+CD+ADоткуда учитывая (*) получаем AB+BC+CD+AD<8 аналогично AB+AD>BDBC+CD>BDAB+BC>ACAD+CD>ACили сложив 2 (AB+BC+CD+AD) >2*(BD+AC) AC+BC+CD+AD>BD+ACполучается что 8>AC+BC+CD+AD>BD+AC=8 противоречие/ Откуда получаем что уловие задачи истинно

Знаете другой ответ?

Отправить свой ответ