Задание:
Объясните пожалуйста только один пункт из решения про свойство касательных (почему AB=BH=HF=FP) Задача: Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника.
Решение:
А есть такое САМОЕ ГЛАВНОЕ свойство касательных. Есть 2 касательных, проведенных к окружности из одной точки. Так вот, отрезки от самой точки до точек касания равны. Это доказывается вот как — если провести радиусы в точки касания, они перпендикулярны касательным Это следует просто из того, что точка касания БЛИЖЕ к центру, чем остальные точки касательной. Все остльные точки касательной лежат ЗА пределами окружности, то есть на БОЛЬШЕМ расстоянии, чем точка касания. То есть точка касания лежит на перпендикуляре из центра. Если соединить центр с точкой, из которой выходят касательные, получится 2 прямоугольных треугольника, которые равны (по катету и гипотенузе). Поэтому и равны отрезки касательных (как вторые катеты. Далее, в задаче равнобедренный треугольник, поэтому (очевидно) равны между собой и отрезки касательных, проведенные из вершин основания. Действительно, CF=CB; CA=CP (по свойству касательных); значит PF=AB, но PF=HF (по свойству касательных) и АВ=ВН (по свойству касательных), поэтому AB=BH=HF=FPНу, дальше, из того, что АР/BF=1/3 имеем АС=ВС/3 (из подобия CAP и BFC…), значит АВ=2*ВС/3=36/2=18; ВС=27, периметр 27+27+36=90. Кстати, насчет оси симметрии — это конечно, хорошо, но я бы так выразился — АР перпендикулярно ОС потому что центр окружности О равноудален от концов АР, и точка С — тоже. А поэтому ОС совпадает с перпендикуляром, проведенным в середине АР (У такого перпендикуляра КАЖДАЯ ТОЧКА равноудалена от концов АР). При этом перпендикуляр из середины ВF (то есть Н) тоже обладает таким свойством, поэтому на нем лежат и точка С, и О. А значит, он совпадает с ОС везде. И получается, что BF и АР перпендикулярны одной прямой. То есть параллельны. Это — типа для большей научности
Знаете другой ответ?