Задание:
Около правильного тетраэдра описан шар радиуса 3 корня из 3. Найдите объем тетраэдра.
Решение:
cм. Чертеж. М — центр АВС. О — центр описанного шара. Обозначим АО=ОЕ=R, OM=x. При этом АЕ=а — сторона тетраэдра, АМ=a/√3 — радиус окружности, описанной вокруг АВС (или — просто — расстояние от центра АВС до вершины, я так думаю, нет смысла тратить место и время на объяснения «как это вычислить». Высота грани a*√3/2, а AM=2/3 от этой высоты). ЕМ=√ (АЕ^2 — AM^2)=a*√ (2/3); — высота тетраэдра.OM=ЕМ — ОЕ=ЕМ — R=a*√ (2/3) — R; ОM=√ (АО^2 — AM^2)=√ (R^2 — a^2/3); Получаемa*√ (2/3) — R=√ (R^2 — a^/3); возводим в квадрат, приводим подобные, получаемa=R*2*√ (2/3); по условию R=3*√3; => a=6*√2; Сторона тетраэдра а, высота а*√ (2/3), площадь грани a^2*√3/4, объемV=(a^2*√3/4)*(а*√ (2/3) /3=a^3*√2/12; подставляем значениеV=(6*√2) ^3*√2/12=72;
Знаете другой ответ?