Задание:
Основанием пирамиды MABCD служит ромб ABCD, AC=8, BD=6. Высота пирамиды равна 1. Все двугранные углы при основании равны. Найдите площадь полнойповерхности пирамиды.
Решение:
Если провести апофемы (высоты боковых граней), то из оснований этих апофем высота пирамиды «видна» под одинаковым углом. Это означает, что 1. Все апофемы равны. 2. Проекция апофемы на основание — это радиус вписанной окружности (в основание). Ромб в основании разбивается диагоналями на четыре прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4, поэтому сторона ромба равна 5, а высота к гипотенузе такого треугольника, — то есть радиус вписанной окружности — равна 3*4/5=12/5. Итак, проекция апофемы на основание равна 2,4 а высота пирамиды 1. Отсюда апофема равна корень (1^2+(12/5) ^2)=13/5. Периметр ромба 5*4=20, площадь боковой поверхности (1/2)*20*13/5=26. Площадь основания 6*8/2=24, складываем, получаем Ответ 50 Между прочим, Sosn/Sboc=12/13, это косинус угла между боковой гранью (любой) и основанием. Это можно было и сразу понять, если рассмативать основание как сумму ортогональных проекций боковых граней. (Треугольник, образованный апофемой, ее проекцией на основание, и высотой пирамиды, подобен треугольнику со сторонами 5,12,13, то есть косинус угла между гранью и основанием 12/13)
Знаете другой ответ?