Задание:
Пожалуйста, помогите! В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона КМ равна 6. Найти радиус описанной около треугольника КLМ окружности, еслиизвестно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через точки К, М и точку пересечения высот треугольника КLM.
Решение:
Дополнительные обозначения. N — точка пересечения высот треугольника KLM, M1 — точка пересечения продолжения стороны ML и всоты KN, K1 — точка пересечения высоты MN и продолжения стороны KL. О1 — центр описанной окружности треугольника KLM, O2 — центр окружности, проходящей через точки KNM. Теперь решение. У четырехугольника NM1MK1 два угла прямые, поэтому углы KNM и KLM в сумме равны 180° (угол M1LK1 вертикальный к углу KLM). Угол KNM вписан в окружность с центром в точке О2 и опирается на дугу КМ этой окружности. Угол KLM вписан в окружность с центром в точке O1 и опирается в ней на дугу КМ (большую, которая лежит снаружи окружности с центром в точке О2). Поскольку О2 лежит на окружности с центром в точке О1, то угол КО2M вписан в окружность с центром в точке О1 и опирается на ту же дугу, что и угол KLM. При этом он является в окружности с центром в точке О2 центральным углом для дуги КМ, то есть он в 2 раза больше угла KNM. Если обозначить угол KNM=α; то угол КО2М=2*α=угол KLM=180° — α; откуда α=60°; Угол KLM=120°, и — по теореме синусов, 6=2*R*sin (120°); R=2√3; Ненужное следствие — радиусы окружностей равны, и центр О1 лежит на окружности с центром в точке О2.
Знаете другой ответ?