Задание:
Решение выкладывайте с подробным объяснением) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите угол междуплоскостями ABG и CDF , где F — средина ребра SB , а G-середина ребра SC.
Решение:
Сечениями будут равнобокие трапеции, причем равные… ребро пирамиды обозначим (а) а=1 боковые грани пирамиды — правильные треугольники… одно основание трапеции=ребру пирамиды=а, второе основание (меньшее)=средней линии боковой грани пирамиды=а/2 боковая сторона трапеции=медиане боковой грани пирамиды=а*V3/2 (высота трапеции) ^2=(а*V3/2) ^2 — (a/4) ^2=3a^2/4 — a^2/16=11a^2/16 высота трапеции=a*V11/4 если обозначить пересечение CF и BG как Е (и на противоположной грани пирамиды симметричную точку обозначить Е1), то ЕЕ1 — линия пересечения плоскостейЕЕ1 || AB || CDугол между плоскостями — угол между перпендикулярами к ЕЕ1, лежащими в этих плоскостях (угол между отрезками высот трапеций) , причем этот угол — угол при вершине O треугольника GOH, где точка О лежит на ЕЕ1, GO _|_ EE1, OН _|_ EE1, GO+OH=высоте трапеции, GH=а*V3/4 точка Е — пересечение медиан равностороннего треугольника (боковой грани пирамиды) => точка Е разбивает медианы (а это боковая сторона трапеции…) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника => и высота трапеции разбивается прямой ЕЕ1 на отрезки в отношении 2:1, т.е. GO: OH=1:2, т.е. OH=2GOGO=(a*V11/4) / 3=a*V11/12OН=2*(a*V11/12)=a*V11/6 по т. Косинусов из треугольника GOH (GН) ^2=OH^2+GO^2 — 2*OH*GH*cos (GOH) 3a^2/16=11a^2/36+11a^2/144 — (11a^2/36)*cos (GOH) 3a^2/16 — 11a^2/144=(11a^2/36)*(1-cos (GOH) 1-cos (GOH)=16a^2/144 11a^2/36)=4/11cos (GOH)=1 — 4/11=7/11 искомый угол=arccos (7/11)
Знаете другой ответ?