Задание:
С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, накоторые он делит гипотенузу.
Решение:
Пусть основание высоты (на гипотенузе) — это точка О. С — вершина прямого угла. Тогда высота — это вектор h=ОС, отрезки гипотенузы k=OA; p=BО*первая точка означает начало вектора, вторая — конец, к примеру, ОА=- АО) и стороны треугольника можно записать такCB=p+h; CA=k — h; BA=k+p; Поскольку АВС прямоугольный треугольник, то (k+p) ^2=(k — h) ^2+(p+h) ^2; Раскрываем скобки.k^2+2kp+p^2=k^2 — 2kh+h^2+p^2+2ph+h^2; Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0. Скалярное произведение kp=kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны. Поэтомуkp=h^2; чтд.
Знаете другой ответ?