Задание:
Точка K лежит внутри квадрата ABCD со стороной α, ∠KAD=∠KDA=15°. Доказать, что BK=KC=α (привести геометрическое доказательство без использования теоремы косинусов и тригонометрических формул).
Решение:
Т. К. Углы равны КAD=KDA => AKD — равнобедренныйтреугольники AKВ и DKC равны по двум сторонам и углу между ними (BA=CD — т.к. квадрат, АК=KD — т.к. AKD равнобедренный, угол ВАК=CDK=90-15=75 градусов) => BK=KC понятно, что нужно поискать треугольник с углами 30 и 60 градусов (желательно прямоугольный…) если продолжить сторону KD до пересечения с диагональю АС (точку пересечения обозначим Т) — получится треугольник АТD с углами 15, 45, 120… (диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов) соединим точки В и Т прямой линией… и рассмотрим получившиеся треугольникиугол ТАК=30=ТКА => BT _|_ AK и в треугольнике АТК эта прямая — медиана, значит и для АВК эта прямая ВТ и медиана и высота, т.е. аВК — равнобедренный и АВ=ВК=а (здесь самое тонкое место следующий вывод: из доказанной равнобедренности меньшего треугольника АТК сделать вывод о равнобедренности бОльшего треугольника АВК… обычно рассуждения следуют в обратном порядке… но здесь прямая ВТ по построению содержит медиану треугольника АТК — вторую точку не обозначила, пусть ТХ будет… это одна прямая линия…)
Знаете другой ответ?