Задание:
Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на окружности, вписанной в этот треугольник. Найти углытреугольника
Решение:
Задача показалась мне интересной, и я ее немного обобщил. Пусть вписанная окружность делит медиану, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе, в отношении к 1 — к). В условии задачи к=2/3. Обозначим a и b — катеты, с — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности. Проще всего составить необходимые уравнения, воспользовавшись уравнением окружности. Далее я покажу, как эти соотношения элементарно получаются и без координатных методов. Расположим катеты вдоль координатных осей так, что вершина прямого угла — вначале координат (0,0), а вершины гипотенузы — в точках (а,0) и (0,b). Тогда точка пересечения К медианы и вписанной окружности (их 2, нас интересует, очевидно, та, что ближе к гипотенузе) лежит на прямой y=(b/a)*x; основание медианы — это середина гипотенузы, то есть точка с координатами (a/2,b/2), а координаты точки К (k*a/2; k*b/2) (в условии задачи это (a/3,b/3) Уравнение вписанной окружности (x — r) ^2+(y — r) ^2=r^2; кроме того, есть известное соотношение в прямоугольном треугольникеa+b — c=2*r; Подставим (x,y)=(k*a/2; k*b/2) в уравнение окружности. (k*a/2 — r) ^2+(k*b/2 — r) ^2=r^2 на самом деле это соотношение для точки К можно выписать сразу, исходя из теоремы Пифагора, а все предыдущие «методические» приемы просто опустить достаточно построить прямоугольный треугольник, проведя радиус из центра вписанной окружности О в точку К, и прямые II катетам исходного тр-ка из концов этого радиуса (то есть из точек О и К) до пересечения. Полученные катеты этого треугольника очевидно равны (k*a/2 — r) и (k*b/2 — r) , — в условии задачи (a/3 — r) и (b/3 — r), а гипотенуза — r) Имеем далееk^2*(a^2+b^2) /4 — k*(a+b)*r+r^2=0; Подставим a+b=2*r+c; a^2+b^2=c^2; k^2*c^2/4 — k*r*(2*r+c)+r^2=0; r^2*(1-2*k) — k*c*r+(k^2/4)*c^2=0; Теперь введем x=r/c.x^2*(1-2*k) — k*x+(k^2/4)=0; x^2+x*k/ (2*k — 1) — k^2/ (4*(2k-1)=0; x=- k/ (2*(2*k — 1)+ корень (k/ (2*(2*k — 1) ^2+k^2/ (4*(2k-1)=- k/ (2*(2*k — 1)+k/ (2*(2*k — 1)*корень (1+(2k-1) …. НО только если k > 1/2. Вот именно для этого я и обозначил k=2/3. Если k < 1/2, решения нет. Ну, в задаче это выполнено — k=2/3 > 1/2. Замечу также, что второй корень отрицательный, поэтому отброшен.) x=k/ (2*(2*k — 1) (корень (2*k) — 1); в частности при k=2/3, как в задаче, x=2*корень (3) /3 -1; таким образом, мы нашли r/c=x=2*корень (3) /3 -1; дальше ищем углы в этом случае. Поскольку a/c+b/c=2*(r/c)+1; тоsin (A)+cos (A)=4*корень (3) /3 -1; это уравнение для А решается очень легко — достаточно возвести в квадрат обе стороны 1+sin (2*A)=(4*корень (3) /3 -1) ^2; sin (2*A)=(2 — корень (3)*8/3; A=(1/2)*arcsin (2 — корень (3)*8/3); Это можно считать ответом. Приближенно sin (2*A)=0,714531179816328. Интересно, что 2*А получилось почти точно 45 градусов, точнее 2*А=45,6047908137106 градусов. Вернусь еще раз к задаче. Приведу решение в сжатом виде при k=2/3. Все, что надо понять — что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3 — и сразу получается соотношение. (a/3 — r) ^2+(b/3 — r) ^2=r^2a^2+b^2) /9 — 2*r*(a+b) /3+r^2=0; Подставим a+b=2*r+c; a^2+b^2=c^2; c^2/9 — 2*r*(2*r+c)+r^2=0; r^2+2*r*c — c^2/3=0; Обозначаем r/c=x; x^2+2*x — 1/3=0x+1) ^2=4/3; x=2*корень (3) /3 -1; поскольку a/c+b/c=2*(r/c)+1; тоsin (A)+cos (A)=4*корень (3) /3 -1; возводим в квадрат обе стороны 1+sin (2*A)=(4*корень (3) /3 -1) ^2; sin (2*A)=(2 — корень (3)*8/3; A=(1/2)*arcsin (2 — корень (3)*8/3);
Знаете другой ответ?