Задание:
Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точкеО. Угол А равен 28 градусов, угол С равен 22 градуса. УголАОС-?
Решение:
Во-первых, сразу вычислю третий угол треугольника АВС. Это легко, ведь сумма углов треуголника всегда 180 градусов. Итак: угол В=180-22-28=130 (град). Понятно теперь, что треугольник АВС тупоугольный и, значит, центр О описывающей его окружности не внутри треугольника, а вне его. Стоит ли это объяснять? Ну, на всякий случай скажу, что это очевидно вот почему: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда проходит через центр описывающей его окружности. Это точно проходят в школе! (Теперь легко представить вот что: — Если прямой угол такого (вписанного в круг) треугольника начать уменьшать, то центр кружности окажется внутри треугольника. Так со всеми остроугольными треуголниками получается.- Если же прямой угол увеличивать, то центр кружности окажется за пределами треугольника. Это касается всех тупоугольних треуголников.) Дальше же вот из чего буду исходить: Известно, что «Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре» . Т. Е. Если провести лучи из центра окружности (О) в точки пересечения хорды и этой окружности (в нашем случае это точки А и С), получится угол ровно в два раза больший, чем тот, лучи которого будут проходить через те же точки А и С, но исходить из точки, лежащей на окружности. Назовем ее D. АОC=2ADCВнимание! Это касается только случаев, когда точка D и центр окружности О лежат по одну сторону от хорды! Это точно в школе проходят. То есть, знай мы ADC — и ответ на задачку у нас в кармане! В нашем случае нет пока точки D, но у нас есть точка В! И это прекрасная возможность поставить точку D так, что мы с легкостью вычислим угол ADC! Нет ничего проще: Порводим прямую ВО — она пересечет нашу окружность как раз там, где нам нужно. Это и будет необходимая D. (Назовем точку пересечения D.) Соединим отрезками точки D и A, D и C. Теперь посчитаем величину угла ADC. Для этого рассмотрим два получившихся треугольника DAC и DСВ и четырехуголник DABС. Треугольники прямоугольные. (Мы это уже обсуждали в начале — ведь гипотенуза каждого из них проходит через центр описывающей их окружности) Значит углы DAВ и DСВ прямые. Получается, в четырехуголнике DAВС мы знаем три угла из четырех: — углы А (DAВ) и С (DСВ) прямые, — угол В равен 130 градусов (мы это высчитали в самом начале, для треугольника АВС) Ну, а что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов — это точно в школе проходят! (Да и сообразить легко — ведь такую фигуру всегда можно разбить диагональю на два треугольника. А в каждом треугольнике 180!) значит АDС равен 360-90-90-130=50 градусов! (довольно забавно: этот угол, оказывается, равен сумме углов А и С треугольника АВС!) Ну, и теперь только удвоить это число — и получим ответ: Помните? АОC=2ADCТ. Е. Угол АОС равен удвоенному АDСАОС=50 х 2=100 градусов. Итак все окаалось просто: 1) проводим прямую через В и О, точку пересечения ее с окружностью обозначаем D.2) Определяем углы четырехугольника DABС3) удваиваем величину угла АDС=это и есть искомая величина! Ура!)
Знаете другой ответ?