Задание:
В окружности с центром О проведеныдве хорды MN и PQ, при этом дуга PQ+ дуга MN=180 градусов. На хорду MN опущен перпендикуляр ОН, на хорду PQ опущен перпендикуляр АН1. Докажите, что PQ=2OH
Решение:
Поскольку расстояния до хорд одинаковой длины в окружности равны (вообще, d^+(h/2) ^=R^2; где d — расстояние до хорды, h — ее длина), то БЕЗ ПОТЕРИ ОБЩНОСТИ можно свести концы дуг (хорд), то есть считать, что точки N и Р совпадают, а треугольник MP (N) Q — прямоугольный. В самом деле, равной дуге соответствует равная хорда, => и расстояние до нее такое же. В треугольнике MPQ ОН средняя линяя (раз треугольник прямоугольный — ОН II PQ, и О — середина MQ), поэтому ОН=PQ/2; Можно все это рассказывать и «с конца» от точки P отложим дугу (а значит, и хорду), равную MN, конец обозначим за M1. Далее по тексту, доказывается, что ОН1 (перпендикуляр на РМ1) равен PQ/2; но ОН1=ОН (в начале есть формула связи длины хорды и расстояния до нее, чтд. Оба решения совершенно одинаковы, но отличаются противоположным порядком изложения
Знаете другой ответ?