Задание:
В параллелограмме ABCD угол A равен 60 градусов, провели биссектрису угла D, пересекающую сторону CB в точке K. В треугольник KCD вписали окружностьрадиуса \/7 (корень из 7), другую окружность вписали в трапецию ABKD. Найдите расстояние между центрами этиъ окружностей
Решение:
Треугольник KCD очевидно правильный, поэтому r=√7; — это треть высоты KCD, которая, очевидно является высотой и трапеции ABKD. В эту трапецию можно вписать окружность, поэтому, если верхнее основание BK=x, а нижнее AD=a, то боковые стороны AB=KD=(a+x) /2 суммы противоположных сторон равны). Если продлить AB и KD до пересечения в точке Е, то AED — правильный треугольник, и окружность, вписанная в трапецию ABKD, является вписанной и в AED. Диаметр этой окружности равен 2/3 высоты AED, а высота EBK, соответственно, равна 1/3 высоты AED. Из очевидного подобия элементов трегуольников EBK и AED x=a/3; то есть AB=KD=KC=2*AD/3=2*a/3; Из такого же подобия элементов треугольников AED и KCD следует, что радиус вписанной в трапецию окружности r1=3r/2 то есть r/r1=KC/AD) Если центры окружностей O1 (вписаная в AED радиуса r1=3r/2) и O2 (вписанная в KDC радиуса r), то точка O2 проектируется на AD в точку D, а точка O1 — в середину AD, поэтому, если O1O2=p, то p^2=(a/2) ^2+(r1 — r) ^2; При этом a/2=(√3)*r1=(3√3/2)*r; Откуда p^2=(3√3/2) ^2+(1/2) ^2)*r^2=7*r^2=7^2; O1O2=7;
Знаете другой ответ?