Задание:
В параллелограмме KLMN точка E-середина стороны LM. Известно, что EK=EN. Докажите, что данныйпараллелограмм-прямоугольник.
Решение:
Если Р — середина KN, то в треугольнике KEN EP — медиана, и (поскольку треугольник равнобедренный) одновременно — высота. Поэтому EP перпендикулярно KN. Но ЕР II MN. Поэтому MN перпендикулярно KN. Значит, KLMN — прямоугольник. (Почему ЕР II MN? Ну, например, потому, что EMNP — тоже параллелограмм. Тут можно сослаться на пропорциональность отрезков LE, ЕМ и KP, PN и теорему о пропорциональных отрезках между параллельными линиями. Хотя вообще-то это очевидно, что линия, соединяющая середины противоположных сторон параллелограмма, параллельна сторонам. Можно и так — фигуры LEPK и EMNP накладываются друг на друга при параллельном переносе — при сдвиге на длину ЕМ вдоль LM, то есть они равны. Отсюда равны соответственные углы при прямых ЕР и MN и секущей LM. Как ни удивительно, это — строгое доказательство, потому что определение равенства фигур именно в этом и заключается — что они совпадают при каком-то переносе без деформации — или при зеркальном отражении).
Знаете другой ответ?