Задание:
В Прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 АВ=АА1=а, АД=2 а. На сребрах СС1 и АД взяты соответственно точки P и Q — такие, что CP: CC1=AQ: AD=1:3, ана ребрах АВ и А1В1 взяты соответственно точки R и V- середины этих ребер. Найти расстояние между В1С1 и а) PQ б) PR в) PV
Решение:
Давайте, я все таки для точки V покажу, как делать. Пусть M на ВВ1, и BM=CP; то есть PM II B1C1. Прямая В1С1 II плоскости PMV. Расстояние между прямыми PV и B1C1 — это расстояние от любой точки прямой B1C1 до плоскости PMV. Проще всего найти расстояние от В1 до VM, то есть высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника B1VM c катетами B1V=a/2 и B1M=2a/3 к слову, это «египетский» треугольник, но это случайность, в двух других случаях ничего «египетского» нет Легко найти VM=5a/6; и нужное расстояние равно (a/2)*(2a/3) / (5a/6)=2a/5; Для точки R все так же просто. RM пересекает продолжение А1В1 в точке Е, и легко найти что ВЕ=аиз подобия RMB и B1EM); MB1=2a/3; отсюда ME=a√13/3; и высота В1МЕ равна a*(2a/3) / (a√13/3)=2a/√13; Для точки Q этим же способом легко найти ответ 2a/√10; я покажу, как это находится с помощью векторно-координатного метода. Любая прямая полностью задается вектором вдоль нее и одной точкой, через которую она проходит. С другой стороны, расстояние между не параллельными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых (такая пара плоскостей всегда есть и всегда только одна, если прямые не параллельны и не пересекаются). Плоскость задается однозначно точкой, через которую она проходит и нормальным вектором (то есть вектором, перпендикулярным плоскости). Если плоскости параллельны, у них — очевидно — один и тот же нормальный вектор. Поэтому задача стоит такая — надо найти вектор, перпендикулярный направляющим векторам обеих прямых. Такой вектор отлично известен — это векторное произведение направляющих векторов. Таким образом, нормальный вектор обеих параллельных плоскостей строится так — берутся две точки на одной прямой и на другой, строятся два вектора вдоль прямых, находится их векторное произведение и нормируется (то есть делится на свой модуль). Получился единичный вектор, перпендикулярный обеим прямым — и обеим плоскостям, содержащим скрещивающиеся прямые. Теперь, чтобы найти расстояние между двумя этими плоскостями, достаточно взять любые две точки на разных плоскостях, построить вектор с началом в одной точке и концом в другой, и скалярно умножить на построенный единичный вектор (то есть найти проекцию отрезка, соединяющего две произвольные точки двух параллельных плоскостей на прямую, перпендикулярную обеим плоскостям). Выполнение этой программы действий для прямых В1С1 и PQ выглядит так.B1C1=(2a,0,0); QP=(4a/3,a,a/3); векторное произведение B1C1XQP=(0,-1,3)*(2a^2/3) я вынес общий множитель за скобки, так как для вычисления единичного вектора n=B1C1XQP/IB1C1XQPI его можно просто отбросить.n=(0, -1/√10, 3/√10); теперь можно взять любой (еще раз — любой в смысле любой) вектор с началом на одной плоскости и концом на другой и скалярно умножить на n, получится ответ (знак при этом не имеет значения, нужна абсолютная величина).PB1=(2a, 0, -2a/3); откуда сразу ответ 2a/√10;
Знаете другой ответ?