Задание:
В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусам, угол A=60 градусам. На стороне AB взята точка Q так что BQ/QA=1/2. Найти радиус окружности проходящейчерез точку Q и A и касающийся прямой содержащей сторону BC если QA=4
Решение:
AB=6; AC=3; CB=3√3; это все легко находится. Более того, одно из возможных решений сразу видно — середина отрезка AQ удалена от точек A и Q на 2, и от стороны BC тоже, то есть 2 — одно из возможных решений. К сожалению — не единственное. Центр окружности удален от стороны BC на r — величину радиуса. Расстояние от центра до стороны AC я обозначу q; для окружности (оси X и Y — это просто стороны BC и AC) (x — q) ^2+(y — r) ^2=r^2 такая окружность заведомо касается прямой ВС — есть только одна общая точка (q, 0), остальные точки лежат заведомо выше ВС) известно, что она проходит через точку А (0,3) и Q (2√3,1) откуда получаются два уравненияq^2+9 — 6r=02√3 — q) ^2+1 — 2r=0; или q^2 - 4√3q+13 — 2r=0; если вычесть одно из другого, получится q=(r+1) /√3; и подстановка этого в первое даетr^2 — 16r+28=0; или (r — 2) (r — 14)=0; то есть кроме ответа r=2; возможно решение r=14; Конечно, когда это известно, и понятно, где находится центр второго решения — для второго решения q=5√3; а ВС=3√3, точка касания как раз находится на прямой ВС на расстоянии q=5√3 от С, — можно получить ту же самую систему уравнений для r и q, не используя уравнение окружности, а просто сравнивая расстояния от возможного центра до точек A Q и прямой BC. Получится то же самое уравнение на r. Например, можно записать свойство касательной и секущей из точки B (q — 3√3) ^2=2*6; q=3√3+- 2√3; и получилось оба решения после нахождения q остается найти r. Такое решение кажется технически проще, но это не так — чтобы найти r, зная q, надо постараться, даже зная ответ.
Знаете другой ответ?