Задание:
В равнобедренной трапеции центр вписанного круга находится от вершины верхнего основания на расстоянии 3, а от вершины нижнего основания на 4. Чемуравна площадь круга, вписанная в трапецию?
Решение:
Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD); 2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙ (∠ADC+∠BCD)=90º; 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º; 4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу.5) треугольник СОD (по теореме Пифагора): CD^2=CO^2+OD^2CD=корень [CO^2+OD^2]=корень [3^2+4^2]=56) Обозначим CF=mтогда FD=5-mOF=r (радиус) Треугольник СFО (по теореме Пифагора): r^2+m^2=OC^2 r^2+m^2=3^2 откуда r^2=9 — m^2 7) Треугольник ОFD (по теореме Пифагора): r^2+(5-m) ^2=OD^2 r^2+(5-m) ^2=4^2 Подставим из 6): 9 — m^2+(5-m) ^2=4^2 9 — m^2+5^2 — 2*5*m+m^2=4^2 9+25 — 10m=1610m=18m=1,88) Подставим результат в 6): r^2=9 — m^2=9 — 1,8^2=5,769) площадь круга S=П*r^2=5,76П ~ 18,096
Знаете другой ответ?