Задание:
В трапеции ABCD точки K, L, P и L являются точками пересечения медиан треугольников ABC BCD ACD и ABD соответственно. О-точка пересечения отрезков KP иFL. Через точку О проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. В каком отношении эта прямая делит высоту трапеции, если основания равны 2 и 5?
Решение:
Проведем прямую АК перпендикулярно AD (пусть К — точка пересечения АК с продолжением ВС, ясно, что АК — высота трапеции, АК=Н) и рассмотрим проекции точек K,L,P,F на эту прямую. К примеру, точка К делит отрезок, соединяющий А и середину ВС, в отношении 2/1, считая от А, поэтому ее проекция на АК — пусть это точка K1, делит АК в отношении 2/1, считая от А. То есть АК1=Н*2/3. Аналогично AL1=AK1=H*2/3; AP1=AF1=H/3; L1, P1, F1 проекции L, P, F на АК. Легко видеть, что проекция точки пересечения KP и LF на АК попадает в середину АК, то есть делит высоту пополам. От оснований ничего не зависит.
Знаете другой ответ?