Задание:
В треуг. АВС угол В 120. АА1, ВВ1, СС1 – биссек. Его внутренних углов. Док-ть, что угол А1В1С1 –прямой.
Решение:
Здесь можно использовать тот факт, что смежный к углу в 120 градусов угол=60 градусовпродолжим сторону АВ и опустим из А1 _|_ на АВ (обозначим точку М) также построим перпендикуляры из А1 к стороне АС (АС2) и биссектрисе ВВ1 (АВ2): А1М _|_ АВ, А1С2 _|_ АС, А1В2 _|_ ВВ1 точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла (верно и обратное утверждение: равноудаленная от сторон угла точка лежит на биссектрисе этого угла). А1 по построению лежит на биссектрисе угла САВ => А1М=А1С2 т.к. смежный к углу АВС угол СВМ=60 градусов=СВВ1=В1ВА, то А1В — биссектриса угла МВВ1 => А1М=А1В2=А1С2 а теперь из равенства А1В2=А1С2 делаем вывод, что А1В1 будет биссектрисой угла СВ1Вт.е. углы СВ1А1=А1В1В равны. Аналогичные построения и рассуждения докажут, что В1С1 — биссектриса угла ВВ1А (здесь продолжить сторону СВ, угол смежный с СВА — АВК=60 градусов… и опускать перпендикуляры из С1 на АС, СВ, ВВ1) итак, получили равенство углов: СВ1А1=А1В1В и ВВ1С1=С1В1Аразвернутый угол СВ1А=180=СВ1А1+ А1В1В + ВВ1С1+ С1В1А=2*А1В1В +2*ВВ1С1=2*(А1В1В + ВВ1С1)=2*А1В1С1 => А1В1С1=180/2=90 градусов
Знаете другой ответ?