Задание:
В треугольнике ABC длины сторон связаны соотношением BC^2+AC^2=5AB^2. Доказать что медианы AM и BN перпендикулярны! Четко и понятнообъяснить!
Решение:
Пусть О — точка пересечения медиан. По теореме косинусов из треугольникаАВС: AB^2=BC^2+AC^2-2BC*AC*cosCAB^2=5AB^2-2BC*AC*cosC2AB^2=BC*AC*cosCcosC=2AB^2/ (BC*AC) По теореме косинусов из треугольникаАМС: AM^2=AC^2+MC^2-2AC*MC*cosCAM^2=AC^2+BC^2/4-2AC*BC/2*2AB^2/ (BC*AC) AM^2=AC^2+BC^2/4-2AB^2Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то: ОМ=AM/3; OM^2=AM^2/9=AC^2/9+BC^2/36-2AB^2/9По теореме косинусов из треугольникаCВN: BN^2=BC^2+NC^2-2BC*NC*cosCBN^2=BC^2+AC^2/4-2BC*AC/2*2AB^2/ (BC*AC) BN^2=BC^2+AC^2/4-2AB^2BO=2BN/3BO^2=4BN^2/9=4BC^2/9+AC^2/9-8AB^2/9BO^2+OM^2=4BC^2/9+AC^2/9-8AB^2/9+AC^2/9+BC^2/36-2AB^2/9=17BC^2/36+2AC^2/9-10AB^2/9=17BC^2/36+2/9 (AC^2-5AB^2)=17BC^2/36-2BC^2/9=BC^2/4=BM^2 тоесть BO^2+OM^2=BM^2Значит по обратной теореме Пифагораугол между AМ и ВN=90 градусов.ч.т. д.
Знаете другой ответ?