Задание:
В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны соответственно точки M и N, причем MB=m, BC=a, AF=n, угол AMC=углу ANC. Найдите длину MF, где F — точка пересечения отрезков CM и AN.
Решение:
Вот вам решение В дополнение к заданным в задаче обозначениям я ввожу еще такие.BF пересекает А в точке К. АМ=p; BN=t; NC=q; CK=x; KA=y; CF=e; FN=u; MF=f; Ну, и АВ=с, ВС=а; Из теорем Чевы и Ван-Обеля сразу следуетm*q*y/ (p*t*x)=1; x/y+q/t=e/f; y/x+p/m=n/u; Из первого и второго равенств следует q/t=(x/y)*(p/m); и (x/y)*(1+p/m)=e/f; аналогично из первого и третьего равенств p/m=(y/x)*(q/t); и (y/x)*(1+q/t)=n/u; Если перемножить левые и правый части, получается (1+p/m)*(1+q/t)=(e*n) / (f*u); или (c/m)*(a/t)=(e*n) / (f*u); Пока что нигде не использовалось условие равенства углов. Это условие означает, что точки A M N C лежат на одной окружности. Отсюда сразу следует, что n*u=e*fпроизведения отрезков хорд) и m*c=t*aпроизведения отрезков секущих из точки В). Подставляя e=n*u/f; и с=a*t/m; я получаюa^2/m^2=n^2/f^2; или a/m=n/f; f=n*a/m; Между прочим, угол между f и n (угол MFA) НЕ равен углу ABC. То есть получить это равенство из подобия не получится
Знаете другой ответ?