Задание:
В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, AE и BD равны соответственно 3 см, 4 см и 5 см. Вычислить периметртреугольника.
Решение:
Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то площадь `S_1` треугольника АСМ равна половине площади `S` треугольника АВСОбозначим `BC=a`, `AC=b`, `/_DCB=alpha`, тогда `S_1=1/2*a/2*9*sinalpha+1/2*b*9*sinalpha=9/2*sinalpha*(a/2+b) `. Аналогично `S=1/2*14*sinalpha*(a+b) `. Так как `S=2S_1`, то `a: b=4:5` и `a=4/5*b`. Отсюда `AB=3/5*b`. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника `BD: DA=4:5`, поэтому можно положить `BD=4x`, `DA=5x`. Тогда `AB=9x`, `b=15x`, `a=12x`. Так как `14^2=(12x) ^2+(4x) ^2`, то `x^2=196/160=49/40`. Отсюда площадь треугольника АВС равна `1/2*9x*12x=(1323) / (20) `Ответ: ` (1323) / (20)
Знаете другой ответ?