Задание:
Исследовать функцию на условный экстремум z=x^3-15x+12y при x-y=1
Решение:
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1): илиРешая систему, получим четыре стационарные точки: Найдем производные 2-го порядкаи составим дискриминант Δ=AC — B² для каждой стационарной точки.1) Для точки: , Δ=AC—B²=36-144<0. Значит в точке экстремума нет.2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28,3) Для точки: A=-6, B=-12, С=-6; Δ=36-144 <0. Экстремума нет.4) Для точки Р4: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28,5°. ^ Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f (х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ (х, у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f (х, у) при наличии соотношения φ (х, у)=0, составляют так называемую функцию ЛагранжаF (x,y)=f (x,y)+λφ (x,y) , где λ — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений (2) с тремя неизвестными х, у, λ, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные. Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжадля испытуемой системы значений х, у, λ, полученной из (2) при условии, что dх и dу связаны уравнением. Именно, функция f (х,y) имеет условный максимум, если d²F< 0, и условный минимум, если d²F>0. В частности, если дискриминант Δ для функции F (х, у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f (х, у), если A< 0 (или С< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0). Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.
Знаете другой ответ?