Задание:
Найти точки перегиба функцииу=x^3+3x^2 — 5x — 6
Решение:
Исследовать функцию: у (x)=x^3/3-x^2+61. Область определения функции (-бесконечность; бесконечность) 2. Множество значений функции (-бесконечность; бесконечность) 3. Проверим, является ли функция четной или не четной? У (x)=x^3/3-x^2+6 у (-x)=(-x) ^3/3- (-x) ^2+6=-x^3/3-x^2+6, так как у (x) не=у (-x) и у (-x) не=-у (x), то данная функция не являетсяни четной ни не четной.4. Найдем координаты точек пересечения графика функции с осями координат: а) с осью ОХ: у=0, x^3/3-x^2+6=0, данное уравнение не имеет рационального корня, а корень принадлежит промежутку (-2; -1) б) с осью ОУ: х=0, тогда у=6. Следовательно график функции пересекает ось ординат в точке (0; 6) 5) Найдем точки экстремума функции и промежутки возрастание и убывания: у' (x)=x^2-2x; f' (x)=0x^2-2x=0x1=0x2=2. Получили две стационарные точки, проверим их на экстремум: Так как на промежутках (-бесконечность; 0) и (2; бесконечность) у' (x) >0, то на этих промежутках функция возрастает. Так как на промежутке (0; 2) у' (x) <0, то на этом промежутке функция убывает. Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на — , то в этой точке функция имеет максимум у (0)=0-0+6=6Таккак при переходе через точку х=2 производная меняет свой знак с — на + то в этой точке функция имеет минимуму у (2)=8/3-4+6=14/36. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости: y" (x)=2x-2; y" (x)=02x-2=0x=1Так как на промежутке (-бесконечность; 1) y" (x) <0, то на этом промежутке нрафик функци направлен выпуклостью вверх. Так как на промежутке (1; бесконечность) y" (x) >0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклотью внизТаккак при переходе через точку х=1 вторая производная меняет свой знак, то точка х=1 является точой перегиба. y (1)=1/3-1+6=16/37. Проверим имеет данная функция асимптоты: а) вертикальныеТак как точек разрыва функция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот. Б) наклонные вида у=kx+bk=lim y (x) /x=lim (x^3/3-x^2+6) /x)=бесконечность Так как данный предел бесконечен, то график не имеет наклонных асимптот
Знаете другой ответ?