Задание:
Помогите, пожалуйста исследовать на экстремум функцию z=3x^3+3y^3-9xy+10
Решение:
Сначала извлекаешь производную, потом решаешь квадратное уровнение, чертишь прямую, отмечаешь точки минимума и максимума, потом смотришь где возрастает и убываетz=3x^3+3y^3-9xy+101) z'x=9x^2-9y=0z'y=9y^2-9x=09x^2-9y^2-9y+9x=0 (1) — (2) или 9x^2-9y=09 (x-y) (x+y)+9 (x-y)=9 (x-y) (x+y+1)=09x^2-9y=0a) y=x9x^2-9x=9x (x-1)=0 получаем x1=0 y1=0 и x2=1 y2=1b) y=-1-x9x^2-9 (-1-x)=9x^2+9x+9=9 (x^2+x+1)=0 корней нет 2) z'xx=18xz'yy=18yz'xy=z'yx=-9D (x,y)=z'xx*z'yy-z'xy*z'xya) x1=0 y1=0 z'xx (0,0)=0z'yy (0,0)=0z'xy (0,0)=z'yx (0,0)=-9D (x,y)=0*0- (-9)*(-9)=-81<0 — экстремума нетb) x2=1 y2=1z'xx (1,1)=18z'yy (1,1)=18z'xy (1,1)=z'yx (1,1)=-9D (x,y)=18*18-9*9>0 и z'xx (1,1)=18>0 значит точка (1,1) — точка локального минимумаz (1,1)=3+3-9+10=7 но учтываем также, что на ОДЗ minz=-бесконечность, maxz=+ бесконечность
Знаете другой ответ?