Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба…

Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D — правильный тетраэдр. Поэтому проекция точки С1 на плоскость A1BD — это центр правильного треугольника A1BD — пусть это точка Q1. У пирамиды AA1BD основание A1BD — правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). Поэтому проекция точки A на плоскость A1BD — это центр правильного треугольника A1BD — точка Q1. Поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости A1BD и проходящая через заданную точку Q1 — центр треугольника A1BD, то AC1 перпендикулярно A1BD. Что и требовалось доказать. Если провести еще одну плоскость — B1D1C, то она тоже перпендикулярна AC1 (доказывается точно так же, пусть центр треугольника B1D1C — точка Q2), то есть параллельна плоскости BDA1. Поэтому эти две плоскости (поскольку они параллельны) отсекают на разных прямых пропорциональные отрезки. То есть AQ1/Q1Q2=AM/MC (М — центр грани ABCD) и Q1Q2/Q2C1=A1M1/M1C1 (М1 — центр грани A1B1C1D1). Поэтому плоскости A1BD и B1D1C делят AC1 на три равных отрезка. Что и требовалось доказать.