Определение. Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол. Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы). Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности. Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD=hc из вершины С его прямого угла. Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС. Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой. Из подобия треугольников определяются соотношения: h=\sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}=\frac{a \cdot b}{c}; c=ac+bc; a=\sqrt{a_{c} \cdot c}, b=\sqrt{b_{c} \cdot c}\frac{a}{b}) ^{2}=\frac{a_{c}}{b_{c}}. Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a2+b2=c2Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2+b2=c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
