Высота боковой грани называется «апофема». Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой и ее проекцией на основание. Если рассмотреть все три треугольника, образованных апофемой любой из граней, ее проекцией и высотой пирамиды, то все эти прямоугольные треугольники равны — у них есть общий катет (высота пирамиды) и одинаковые противолежащие острые углы. Это означает, что все апофемы равны между собой, а также — что равны все проекции апофем на основание. Поскольку все проекции апофем равны, то проекция вершины пирамиды РАВНОУДАЛЕНА от сторон треугольника в основании, то есть это — центр вписанной в основание окружности. То есть доказаны оба пункта. (на самом деле, если взять ЛЮБУЮ пирамиду — с любым числом граней, и потребовать ТОЛЬКО ОДНО — что все боковые грани одинаково наклонены к основанию, то это автоматически означает, что 1. В МНОГОУГОЛЬНИК в основании МОЖНО вписать окружность, и 2. Вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Все, что дополнительно требуется — чтобы многоугольник в основании был выпуклым.) Остается вычислить радиус вписанной в основание окружности (который, как было показано, и есть — проекция апофемы). В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании α. Поскольку центр вписанной в такой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрисы острого угла α и высоты-медианы-биссектрисы угла при вершине, то для радиуса вписанной окружности сразу можно записать соотношениеr=(a/2)*tg (α/2). Это — ответ. Я там картинку добавил. Треугольники DOM, DON и DOK равны. О — проекция вершины D на плоскость АВС, через DO проводится плоскость перпендикулярно АВ, поэтому DM и OM — перпендикуляры к АВ, угол DMO — линейный угол двугранного угла. Треугольники равны, потому что задано, что углы DMO, DKO и DNO равны, а DO — общий катет. Поэтому О равноудалена от сторон, ОК=r. Дальше, угол ОСК=α/2, СК=а/2, откуда r=(a/2)*tg (α/2).
