У этой задачки есть очень наглядное решение. Можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в задаче. Сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, «боковые» грани которой — равнобедренные прямоугольние треугольники, а «основание» — правильный треугольник с вершинами в точках (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Поэтому искомый угол равен 60 градусам. Эту же мысль (трудно назвать это решением — уж больно простоможно выразить без упоминания координатных осей. Дело в том, что упомянутая пирамида — это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину. Берется какая — то вершина куба АBCDA1B1C1D1, например, А, и проводится сечение через точки В, D и А1, у пирамиды А1BDA все трехгранные углы при вершинах «основания» A1BD соответствуют условию задачи. В самом деле, рассмотрим, например, вершину D. Треугольники ADB и ADA1 — равноберенные прямоугольние, поэтому углы АDB и ADA1 равны 45 градусов. Что же касается двугранного угла между плоскостями АDB и ADA1, то это — двугранный угол между гранями куба, то есть он равен 90 градусам. Поэтому трехгранный угол при вершине D пирамиды А1BDA удовлетворяет условию задачи. По условию задачи, нужно найти угол A1DB, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник A1DB равносторонний.
