При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,AK=AB sin ß=b sin β BK=AB cos β=b cos β SABK=AK*BK / 2=b2sin β cos β / 2 откуда SABС=2SABK=b2sin β cos β (примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше) Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то b2sin β cos β=1/2 b2sin 2β=1/2 b2sin 2β или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 1/2 b2sin 2β=1/2 b2sin (180 — α)=1/2 b2sin αТеперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна: h=r / sin φДлину радиуса вписанной окружности найдем как r=S/pУчитывая, что BC=2BK, то BC=2b cos β откуда p=(b+b+2b cos β) / 2 p=(2b+2b cos β) / 2 p=2b (1+cos β) / 2 p=b (1+cos β) Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен r=S / p r=b2sin β cos β / b (1+cos β)=b sin β cos β / (1+cos β) Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что l / r=cos φ, то l=r cos φТогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: S1=lb / 2 S1=r cos φ*b / 2 S1=b sin β cos β / (1+cos β) cos φ*b / 2 S1=b2 sin β cos β / (1+cos β) cos φ / 2 S1=b2 sin β cos β cos φ / (2 (1+cos β) Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: S2=BC*l / 2 S2=2b cos β*r cos φ / 2 S2=b cos β*r cos φ S2=b cos β*b sin β cos β / (1+cos β)*cos φ S2=b2 cos2 β sin β cos φ / (1+cos β) Площадь боковой поверхности пирамиды равна: Sбок=2S1+S2 Sбок=2*b2 sin β cos β / (2 (1+cos β) cos φ)+b2 cos2 β sin β cos φ / (1+cos β) Sбок=b2 sin β cos β cos φ / (1+cos β)+b2 cos2 β sin β cos φ / (1+cos β) Sбок=(b2 sin β cos β cos φ+b2 cos2 β sin β cos φ) / (1+cos β) Sбок=b2 sin β cos β cos φ (1+cos β) / (1+cos β) Sбок=b2 sin β cos β cos φОткуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: S=Sбок +Sосн S=b2 sin β cos β cos φ+b2 cos2 β sin β cos φ / (1+cos β)
