В треугольнике АВС угол В=23 градуса, угол С=41 градус…

Соединим точки Е и С. Треугольник ЕСА — равнобедренный, так как АС=АЕ (это дано). Углы при основании ЕС равны между собой, а угол А равен 180° — (В + С)=116°. Тогда углы АЕС и ЕСА равны (180°-116°): 2=32°. Значит угол ЕFA (F- это точка пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС)=180°- (AEF+EAF)=180°- (32°+58°)=90°. (угол EAF=1/2 угла А, т.к. AD — биссектриса. Угол AEF=32°, как угол при основании ЕС равнобедренного тр-ка ЕАС). Итак, при точке пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС все углы прямые! В равнобедренном треугольнике ЕСА биссектриса AF (отрезок AD) является и медианой и высотой (по свойствам равнобедренного тр-ка) и EF=FC. С другой стороны, по признакам равнобедренности — если EF=FC, то тр-ник EDC, в котором FD является и медианой и высотой, равнобедренный. То есть ED=DC. Углы при основании тр-ка EDC равны угол С — угол ECA=41°-32°=9°. Тогда на стороне АB имеем углы АEF,DEF и BED, в сумме равные 180°. Из них нам неизвестен только угол BED, который равен 180°- (32°+9°)=139°. Тогда искомый угол BDE в тр-ке BDE равен 180°- (23°+139°)=18°. Ответ: угол BDE=18°