87

Дано 15-ти значное число записанное нулями и еденицами…

sergeym 12 мая 2021

Дано 15-ти значное число записанное нулями и еденицами, которое делиться на 81, но не делится на 10. Доказать, что из него нельзя вычеркнуть один из нулейтак, чтобы полученное число по-прежнему делилось на 81.

категория: математика

86

Записанное число делится на 81, следовательно оно делится и на 9. Из признака делимости на 9 следует, что число единиц в этом числе так же делится на 9. Среди чисел от 1 до 15 есть только одно такое число: 9, следовательно, в записи числа 9 единиц. Данное число не делится на 10 и в его записи участвуют только нули и единицы, следовательно оно оканчивается на единицу. Предположим, что можно вычеркнуть ноль так, чтобы оставшееся число делилось на 81. До вычеркивания нуля исходное число имело вид 10a+b, а полученное после вычеркивания a+b. Преобразуем полученное число a+b=(10a+b) -9a 10a+b делится на 81 по условию. Для того, чтобы a+b делилось на 81 нам необходимо, чтобы второе слагаемое делилось на 81, а для этого нужно, чтобы a делилось на 9 но этого не может быть так как число a записывается нулями и единицами, причем единиц не больше восьми, т.к. в исходном числе их было 9, причем одна из них находилась в самом правом разряде, т.е. неминуемо попала в число b. Вывод: для числа a не выполнен признак делимости на 9, следовательно, 9a не делится на 81. Противоречие.

пользователи выбрали этот ответ лучшим

Знаете другой ответ?
Другие вопросы по математике

Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее...