Простого решения, тем более геометрического (пока?) предложить не могу; довольствуюсь тем, что есть. Запишем каноническое уравнение параболы ы виде y=ax² (т.е. поместим вершину параболы в начало координат и направим ось y вдоль оси симметрии). Пусть точки A, B, C имеют абсциссы x1, x2, x3 и ординаты соответственно ax1², ax2², ax3².a) Запишем уравнение нормали к параболе на примере точки A. Производная (и, соответственно, угловой коэффициент касательной) равны 2ax1, соответственно, угловой коэффициент нормали равен (−1) / (2ax1); уравнение нормали имеет вид 2ax1 (y−ax1²)+(x−x1)=0Аналогичные уравнения получаются для нормалей в точках B и C. Найдем, например, точки пересечения нормалей в точках A и B: { 2ax1 (y−ax1²)+(x−x1)=0,{ 2ax2 (y−ax2²)+(x−x2)=0. На самом деле, нам достаточно найти одну из координат — например, y (x однозначно выразится через y, т.к. хотя бы одна из прямых не параллельна оси y). Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований с учетом x1≠x2 получим: y=2 (x1²+x1•x2+x2²)+1/ (2a) Для того чтобы все три нормали пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы ординаты точек пересечения нормалей (A и B) и (B и С) совпадали. Записываем соответствующее уравнение: 2 (x1²+x1²•x2+x²)+1/ (2a)=2 (x2²+x2•x3+x3²)+1/ (2a) x1−x3) (x1+x2+x3)=0Поскольку x1≠x3, то получаем окончательное условие перечения всех трех нормалей в одной точке 1) x1+x2+x3=0b) теперь запишем условие того, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на оси симметрии (она же — ось ординат x=0). Нас интересует только абсцисса точки пересечения медиан. Середина A1 стороны BC имеет абсциссу (x2+x3) /2. Как известно, медиана AA1 делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому точка перечения медиан имеет абсциссуx1+(2/3)*(x2+x3) /2−x1)=(x1+x2+x3) /3Таким образом, точка перечения медиан лежит на оси ординат тогда и только тогда, когда выполняется условие (2) x1+x2+x3=0
