Функция у=sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π.1) Функция у=sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.2) Функция у=sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х=π/2+2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х=— π/2+2kπ — наименьшие значения, равные — 1,3) Функция у=sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).4) Функция у=sin х периодична с периодом 2π.5) В интервалах 2nπ < x < π+2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π+2kπ < х < 2π+2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х=kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; …) называются нулями функции у=sin x6) В интервалах — π/2+2nπ < х < π/2+2nπ функция у=sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2+2kπ < х < 3π/2+2kπ она монотонно убывает.Cледует особо обратить внимание на поведение функции у=sin x вблизи точки х=0. Как видно из рисунка, в окрестности точки х=0 синусоида почти сливается с биссектрисой 1-го и 3-го координатных углов. Поэтому при малых углах х, выраженных в радианах, или при малых по абсолютной величине числовых значениях х (как положительных, так и отрицательных) sin x ≈ x. Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05; sin 2°=sin π*2 /180=sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03. Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х| sin x | < | x |. (1) Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1, a / AОВ=х. Тогда sin x=АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2sin х < х. Отсюда в силу нечетности функции у=sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0| sin x | < | x |. Наконец, при x=0| sin x |=| x |. Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 11. По графику функции у=sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).2. По графику функции у=sin x определить, какое число из интервала [ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8,3. По графику функции у=sin x определить, какие числа имеют синус, равный 1/2,4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03; в) sin (—0,015); г) sin (—2°30').
