Пять целых чисел записаны по окружности так…

Рассмотрим остатки от деления записанных чисел на 3. Могут ли три из них быть равными 0? Нет, т.к. в таком случае 2 числа стояли бы рядом, и их сумма делилась бы на 3. Что если два из остатков равняться 0? Да, но в таком случае между ними должен стоять некоторый нулевой остаток, скажем, 1. Пусть числа А и С делятся на 3, а В дает остаток 1. Тогда остатки E и D должны равняться только единицам, иначе три рядом стоящих числа разделятся на 3. Получаем удовлетворяющее условию расположение. Может ли только один из остатков равняться 0? Пусть А дает остаток 0. Тогда у В и Е должны быть одинаковые ненулевые остатки, иначе или сумма одной из пар, или всех трех чисел разделится на 3. Допустим, они равны 1. Следовательно, ни один из остатков С и D не равен 2. Также они не могут одновременно равняться 1. Значит, один из них равен 0, а другой – 1. Но этот случай с двумя числами, делящимися на 2, мы уже рассмотрели. Может ли ни одно число не делиться на 3? Нет, т.к. в таком случае найдется три подряд стоящих одинаковых остатка, в сумме дающих делящееся на 3 число. Следовательно, ровно 2 числа из пяти должны делиться на 3.