1-2sin^2x/2 — sin2x/2sinx=cos^4t-sin^4 (t+ п) /ctgt-sin2t=

sin 2x=2 sinx*cos x выносим из числителя 2 sinx. lim (x->0) 2 sinx/ х=2 осталось вычислить lim (x->0) [cos x — 1 ] / ln cos (5x) неопределенность 0 на 0. Проще всего по Лопиталю — вычислить производные числителя и знаменателя Без Лопиталя cos x -1=- 2 sin^2 (x/2) ln cos (5x)=ln [1+(cos 5x — 1) ]=ln [ 1-2 sin^2 (5x/2) ] -> — 2 sin^2 (5x/2) после подстановки имеем lim (x->0) { — 2 sin^2 (x/2) } / { — 2 sin^2 (5x/2) }=lim (x->0) { x^2/4*[ sin^2 (x/2) / (x/2) ^2} / { 25 x^2/4*[sin^2 (5x/2) / (5x/2) ^2 }=lim (x->0) { x^2/25 x^2 }=1/25 [ sin^2 (x/2) / (x/2) ^2}=1 [sin^2 (5x/2) / (5x/2) ^2=1 1+(cos^4t+sin^2tcos^2t) /sin^2t=1/sin^2t 1+cos^2t (cos^2t+sin^2t) /sin^2t=1/sin^2t 1+cos^2t/sin^2t=1/sin^2t (cos^2t+sin^2t) /sin^2t=1/sin^2t 1/sin^2t=1/sin^2t 1=1 тождество доказано.