5. Решить уравнение x^2+xy+y^2-2x+2y+4=0

5. Не могу строго доказать. Получается из анализа коэффициентов — мнимый эллипс, хотя одно решение есть точно: х=-2, у=2. Видимо эллипс вырождается в точку.6. Итак x^2+y^2=3n, где n — натуральный индекс. Докажем «от противного». Пусть х и у — не делятся на 3. Значит они делятся на 3 с остатком либо 1, либо 2. А) Пусть х=3 к +1, у=3m+1 (оба делятся с остатком 1) , k,m — натур. Индекс. Тогда 3k+1) ^2+(3m+1) ^2=9k^2+6k+1+9m^2+6m+1=3 (3k^2+2k+3m^2+2m)+2 — видим, что не равно 3n (есть остаток 2) — противоречит условию. Б) Пусть х=3k+2, y=3m+2 (оба делятся с остатком 2) Тогда 3k+2) ^2+(3m+2) ^2=(9k^2+12k+4)+(9m^2+12m+4)=3 (3k^2+4k+3m^2+4m+2)+2 — также появился остаток 2 — не равно 3n- противоречит условию. В) Пусть х=3k+1, y=3m+2 (одно делится с остатком 1, другое — с остатком 2 — причем не важно какое-задача абсолютно симметрична) Тогда 3k+1) ^2+(3m+2) ^2=(9k^2+6k+1)+(9m^2+12m+4)=3 (3k^2+2k+3m^2+4m+1)+2 — опять не делится на 3 — противоречит условию. Мы разобрали все возможные случаи х и у, не делящихся на 3. Ни один из них не отвечает условию! Значит от противного делаем вывод: х и у делятся на 3! Что и требовалось доказать.